En geometría, un casquete esférico o una cúpula esférica es una porción de una esfera o de una bola cortada por un plano. También es un segmento esférico de una base, es decir, limitado por un solo plano. Si el plano pasa por el centro de la esfera (formando un círculo máximo), de modo que la altura del casquete es igual al radio de la esfera, el casquete esférico se llama hemisferio.
Volumen y superficie
El volumen del casquete esférico y el área de la superficie curva se pueden calcular usando combinaciones de
- El radio
de la esfera - El radio de la base de la tapa
- La altura de la gorra
- El ángulo polar entre los rayos del centro de la esfera al ápice de la tapa (el polo) y el borde del disco formando la base de la tapa
Uso  y  | Uso  y | Uso y  | |
|---|---|---|---|
| Volumen |  |  |  |
| Zona |  |  |  |
Si 
denota la latitud en coordenadas geográficas, entonces 
, y 
.
La relación entre y es relevante mientras 
. Por ejemplo, la sección roja de la ilustración es también una tapa esférica para la cual 
.
Las fórmulas usando y puede ser reescrito para utilizar el radio de la base de la tapa en lugar de , usando el teorema pitagórico:
para que
Sustituyendo esto en las fórmulas se obtiene:
Deducir intuitivamente el área de superficie a partir del volumen del sector esférico
Tenga en cuenta que aparte del argumento basado en cálculos a continuación, el área de la capa esférica puede derivarse del volumen 
del sector esférico, por un argumento intuitivo,
El argumento intuitivo se basa en resumir el volumen total del sector de las pirámides triangulares infinitesimal. Utilizar la fórmula de volumen de pirámide (o cono) 
, donde 
es el área infinitesimal de cada base piramidal (ubicada en la superficie de la esfera) y 
es la altura de cada pirámide desde su base a su ápice (en el centro de la esfera). Desde cada uno , en el límite, es constante y equivalente al radio de la esfera, la suma de las bases piramidales infinitesimal equipararía el área del sector esférico, y:
Deducir el volumen y el área de superficie mediante cálculo
Las fórmulas de volumen y área se pueden derivar examinando la rotación de la función.
para 
, utilizando las fórmulas la superficie de la rotación para el área y el sólido de la revolución para el volumen.El área es
El derivado de 
es
y por lo tanto
Por lo tanto, la fórmula para el área es
El volumen es
Aplicaciones
Volúmenes de unión e intersección de dos esferas que se cruzan
El volumen de la unión de dos esferas intersectoriasde radio 
y 
es
dónde
es la suma de los volúmenes de las dos esferas aisladas, y
la suma de los volúmenes de las dos capas esféricas que forman su intersección. Si 
esdistancia entre los dos centros de esfera, eliminación de las variables 
y 
guíasa
Volumen de un casquete esférico con base curva
El volumen de una tapa esférica con una base curvada se puede calcular considerando dos esferas con radio y , separado por alguna distancia 
, y para lo cual sus superficies se intersectan en 
. Es decir, la curvatura de la base viene de la esfera 2. El volumen es por lo tanto la diferencia entre el gorro de la esfera 2 (con altura) 
) y la gorra de la esfera 1 (con altura ),
Esta fórmula es válida sólo para configuraciones que satisfacen 
y 
. Si la esfera 2 es muy grande 
, por consiguiente 
y 
, que es el caso de una tapa esférica con una base que tiene una curvatura insignificante, la ecuación anterior es igual al volumen de una tapa esférica con una base plana, como se esperaba.
Áreas de esferas que se cruzan
Considere dos esferas intersectorias de radio y , con sus centros separados por distancia . Intersectan si
De la ley de los cosines, el ángulo polar de la capa esférica en la esfera del radio es
Usando esto, la superficie de la capa esférica en la esfera del radio es
Área de superficie delimitada por discos paralelos
La superficie curvada del segmento esférico ligada por dos discos paralelos es la diferencia de superficies de sus respectivas capas esféricas. Para una esfera de radio , y gorros con alturas y , el área es
o, utilizando coordenadas geográficas con latitudes 
y 
,
Por ejemplo, suponiendo que la Tierra es una esfera de 6371 km de radio, la superficie del Ártico (al norte del Círculo Polar Ártico, en la latitud 66,56° en agosto de 2016) es 2π·63712|sin 90° − sin 66,56°| = 21,04 millones de km2, o 0,5·|sin 90° − sin 66,56°| = 4,125% de la superficie total de la Tierra.
Esta fórmula también se puede utilizar para demostrar que la mitad de la superficie de la Tierra se encuentra entre las latitudes 30° Sur y 30° Norte en una zona esférica que abarca todos los trópicos.
Generalizaciones
Secciones de otros sólidos
La cúpula esferoidal se obtiene seccionando una porción de un esferoide de modo que la cúpula resultante sea circularmente simétrica (con un eje de rotación) y, de la misma manera, la cúpula elipsoidal se deriva del elipsoide.
Capa hiperesférica
Generalmente, 
- volumen dimensional de una capa hiperesférica de altura y radio dentro -dimensional El espacio euclidiano es dado por:
La fórmula para 
se puede expresar en términos del volumen de la unidad n-ball 
y la función hipergeométrica 
o la función beta incompleta regularizada 
como
y la fórmula de área 
se puede expresar en términos de la zona de la unidad n-ball 
como
A principios de (1986, URSS Academ. Press) se derivaron las siguientes fórmulas:
Para extraño 
:
Asintóticas
Se muestra en eso, si 
y 
Entonces 
Donde 
es la parte integral de la distribución normal estándar.
Un límite más cuantitativo 
.Para tapas grandes (es decir, cuando 
como ), el límite simplifica a 
.
