2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas - Cálculo volumen 3 | OpenStax (2024)

La conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares requiere una simple aplicación de las ecuaciones enumeradas en Conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas:

$$\begin{array}{ccc}\hfill x& =\hfill & r\text{cos}\theta =4\text{cos}\frac{2\pi }{3}=\mathrm{–2}\hfill \\ \hfill y& =\hfill & r\text{sen}\theta =4\text{sen}\frac{2\pi }{3}=2\sqrt{3}\hfill \\ \hfill z& =\hfill & \mathrm{–2.}\hfill \end{array}$$

El punto con coordenadas cilíndricas $\left(4,\frac{2\pi }{3},\mathrm{–2}\right)$ tiene coordenadas rectangulares $\left(\mathrm{–2},2\sqrt{3},\mathrm{–2}\right)$ (vea la siguiente figura).

Figura 2.93 La proyección del punto en el plano xy es de 4 unidades desde el origen. La línea que va del origen a la proyección del punto forma un ángulo de $\frac{2\pi }{3}$ con el eje x positivo. El punto se encuentra $2$ unidades por debajo del plano xy.

Utilice el segundo conjunto de ecuaciones de Conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas:

$$\begin{array}{ccc}\hfill r^2& =\hfill & x^2+y^2\hfill \\ \hfill r& =\hfill & \text{±}\sqrt{1^2+{\left(\mathrm{-3}\right)}^2}=\text{±}\sqrt{10}.\hfill \end{array}$$

Elegimos la raíz cuadrada positiva, por lo que $r=\sqrt{10}.$ Ahora, aplicamos la fórmula para hallar $\theta .$ En este caso, $y$ es negativo y $x$ es positivo, lo que significa que debemos seleccionar el valor de $\theta$ entre $\frac{3\pi }{2}$ y $2\pi \text{:}$

$$\begin{array}{ccc}\hfill \text{tan}\theta & =\hfill & \frac{y}{x}=\frac{\mathrm{-3}}{1}\hfill \\ \hfill \theta & =\hfill & \text{arctan}\left(\mathrm{-3}\right)\approx \mathrm{5,03}\text{rad}.\hfill \end{array}$$

En este caso, las coordenadas z son las mismas en coordenadas rectangulares y cilíndricas:

$$z=5.$$

El punto con coordenadas rectangulares $(1,\mathrm{-3},5)$ tiene coordenadas cilíndricas aproximadamente iguales a $\left(\sqrt{10},\mathrm{5,03},5\right).$

1. Cuando el ángulo $\theta$ se mantiene constante mientras $r$ y $z$ pueden variar, el resultado es un semiplano (vea la siguiente figura).
   

   

   Figura 2.94 En coordenadas polares, la ecuación $\theta =\pi \text{/}4$ describe la raya que se extiende en diagonal a través del primer cuadrante. En tres dimensiones, esta misma ecuación describe un semiplano.

2. Sustituya $r^2=x^2+y^2$ en la ecuación $r^2+z^2=9$ para expresar la forma rectangular de la ecuación $x^2+y^2+z^2=9.$ Esta ecuación describe una esfera centrada en el origen con radio $3$ (vea la siguiente figura).
   

   

   Figura 2.95 La esfera centrada en el origen con radio $3$ puede describirse mediante la ecuación cilíndrica $r^2+z^2=9.$

3. Para describir la superficie definida por la ecuación $z=r,$ es útil examinar las trazas paralelas al plano xy. Por ejemplo, la traza en el plano $z=1$ es un círculo $r=1,$ la traza en el plano $z=3$ es un círculo $r=3,$ y así sucesivamente. Cada traza es un círculo. Como el valor de $z$ aumenta, el radio del círculo también lo hace. La superficie resultante es un cono (vea la siguiente figura)
   

   

   Figura 2.96 Las trazas en planos paralelos al plano xy son círculos. El radio de los círculos aumenta a medida que $z$ lo hace.

Utilice las ecuaciones en Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares para traducir entre coordenadas esféricas y cilíndricas (Figura 2.100):

$$\begin{array}{}\\ \\ x=\rho \text{sen}\phi \text{cos}\theta =8\text{sen}\left(\frac{\pi }{6}\right)\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}\right)=8\left(\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2}=2\hfill \\ y=\rho \text{sen}\phi \text{sen}\theta =8\text{sen}\left(\frac{\pi }{6}\right)\text{sen}\left(\frac{\pi }{3}\right)=8\left(\frac{1}{2}\right)\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\hfill \\ z=\rho \text{cos}\phi =8\text{cos}\left(\frac{\pi }{6}\right)=8\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=4\sqrt{3}.\hfill \end{array}$$

Figura 2.100 La proyección del punto en el plano xy es $4$ unidades desde el origen. La línea que va del origen a la proyección del punto forma un ángulo de $\pi \text{/}3$ con el eje x positivo. El punto se encuentra $4\sqrt{3}$ unidades sobre el plano xy.

El punto con coordenadas esféricas $\left(8,\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{6}\right)$ tiene coordenadas rectangulares $\left(2,2\sqrt{3},4\sqrt{3}\right).$

Hallar los valores en coordenadas cilíndricas es igualmente sencillo:

$$\begin{array}{}\\ \hfill r& =\hfill & \rho \text{sen}\phi =8\text{sen}\frac{\pi }{6}=4\hfill \\ \hfill \theta & =\hfill & \theta \hfill \\ \hfill z& =\hfill & \rho \text{cos}\phi =8\text{cos}\frac{\pi }{6}=4\sqrt{3}.\hfill \end{array}$$

Así, las coordenadas cilíndricas del punto son $\left(4,\frac{\pi }{3},4\sqrt{3}\right).$

Comience convirtiendo las coordenadas rectangulares en esféricas:

$$\begin{array}{cccc}\begin{array}{ccc}\hfill {\rho }^2& =\hfill & x^2+y^2+z^2={\left(\mathrm{–1}\right)}^2+1^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2=8\hfill \\ \hfill \rho & =\hfill & 2\sqrt{2}\hfill \end{array}\hfill & & & \begin{array}{ccc}\hfill \text{tan}\theta & =\hfill & \frac{1}{\mathrm{-1}}\hfill \\ \hfill \theta & =\hfill & \text{arctan}\left(\mathrm{–1}\right)=\frac{3\pi }{4}.\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

Dado que $\left(x,y\right)=\left(\mathrm{–1},1\right),$ entonces la opción correcta para $\theta$ es $\frac{3\pi }{4}.$

En realidad hay dos formas de identificar $\phi .$ Podemos utilizar la ecuación $\phi =\text{arccos}\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right).$ Sin embargo, un enfoque más sencillo es utilizar la ecuación $z=\rho \text{cos}\phi .$ Sabemos que $z=\sqrt{6}$ y $\rho =2\sqrt{2},$ así que

$$\sqrt{6}=2\sqrt{2}\text{cos}\phi ,\text{por lo que}\text{cos}\phi =\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

y por lo tanto $\phi =\frac{\pi }{6}.$ Las coordenadas esféricas del punto son $\left(2\sqrt{2},\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{6}\right).$

Para hallar las coordenadas cilíndricas del punto, solo necesitamos hallar $r\text{:}$

$$r=\rho \text{sen}\phi =2\sqrt{2}\text{sen}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{2}.$$

Las coordenadas cilíndricas del punto son $\left(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4},\sqrt{6}\right).$

1. La variable $\theta$ representa la medida del mismo ángulo tanto en el sistema de coordenadas cilíndricas como en el esférico. Los puntos con coordenadas $\left(\rho ,\frac{\pi }{3},\phi \right)$ se encuentran en el plano que forma el ángulo $\theta =\frac{\pi }{3}$ con el eje x positivo. Dado que $\rho >0,$ la superficie descrita por la ecuación $\theta =\frac{\pi }{3}$ es el semiplano que se muestra en la Figura 2.101.
   

   

   Figura 2.101 La superficie descrita por la ecuación $\theta =\frac{\pi }{3}$ es un semiplano.

2. La ecuación $\phi =\frac{5\pi }{6}$ describe todos los puntos del sistema de coordenadas esféricas que se encuentran en una línea desde el origen que forma un ángulo que mide $\frac{5\pi }{6}$ rad con el eje z positivo. Estos puntos forman un semicono (Figura 2.102). Dado que solo hay un valor para $\phi$ que se mide desde el eje z positivo, no obtenemos el cono completo (con dos piezas)
   

   

   Figura 2.102 La ecuación $\phi =\frac{5\pi }{6}$ describe un cono.

   
   Para hallar la ecuación en coordenadas rectangulares, utilice la ecuación $\phi =\text{arccos}\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right).$
   

   $$\begin{array}{ccc}\hfill \frac{5\pi }{6}& =\hfill & \text{arccos}\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)\hfill \\ \hfill \text{cos}\frac{5\pi }{6}& =\hfill & \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hfill \\ \hfill -\frac{\sqrt{3}}{2}& =\hfill & \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\hfill \\ \hfill \frac{3}{4}& =\hfill & \frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}\hfill \\ \hfill \frac{3x^2}{4}+\frac{3y^2}{4}+\frac{3z^2}{4}& =\hfill & z^2\hfill \\ \hfill \frac{3x^2}{4}+\frac{3y^2}{4}-\frac{z^2}{4}& =\hfill & \mathrm{0,}\hfill \end{array}$$

   
   Esta es la ecuación de un cono centrado en el eje z.
3. La ecuación $\rho =6$ describe el conjunto de todos los puntos $6$ unidades desde el origen, una esfera de radio $6$ (Figura 2.103)
   

   

   Figura 2.103 La ecuación $\rho =6$ describe una esfera de radio $6.$

4. Para identificar esta superficie, convierta la ecuación de coordenadas esféricas a rectangulares, utilizando las ecuaciones $y=\rho \text{sen}\phi \text{sen}\theta$ y ${\rho }^2=x^2+y^2+z^2\text{:}$
   

   $$\begin{array}{cccccc}\hfill \rho & =\hfill & \text{sen}\theta \text{sen}\phi \hfill & & & \\ \hfill {\rho }^2& =\hfill & \rho \text{sen}\theta \text{sen}\phi \hfill & & & \text{Multiplique ambos lados de la ecuación por}\rho .\hfill \\ \hfill x^2+y^2+z^2& =\hfill & y\hfill & & & \text{Sustituya las variables rectangulares utilizando las ecuaciones anteriores.}\hfill \\ \hfill x^2+y^2-y+z^2& =\hfill & 0\hfill & & & \text{Reste}y\text{de ambos lados de la ecuación.}\hfill \\ \hfill x^2+y^2-y+\frac{1}{4}+z^2& =\hfill & \frac{1}{4}\hfill & & & \text{Complete el cuadrado.}\hfill \\ \hfill x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+z^2& =\hfill & \frac{1}{4}.\hfill & & & \text{Reescriba los términos medios como un cuadrado perfecto.}\hfill \end{array}$$

   
   La ecuación describe una esfera centrada en el punto $\left(0,\frac{1}{2},0\right)$ con radio $\frac{1}{2}.$

1. Evidentemente, una bola de boliche es una esfera, por lo que las coordenadas esféricas serían probablemente las más adecuadas en este caso. El origen debe situarse en el centro físico de la bola. No hay una opción obvia para la orientación de los ejes x, y y z. Las bolas de boliche normalmente tienen un bloque de peso en el centro. Una opción posible es alinear el eje z con el eje de simetría del bloque de peso.
2. Un submarino se mueve generalmente en línea recta. No hay simetría rotacional o esférica que se aplique en esta situación, por lo que las coordenadas rectangulares son una buena opción. El eje z probablemente debería apuntar hacia arriba. El eje x y el eje y podrían alinearse para apuntar al este y al norte, respectivamente. El origen debe ser algún lugar físico conveniente, como la posición inicial del submarino o la ubicación de un puerto concreto.
3. Un cono tiene varios tipos de simetría. En coordenadas cilíndricas, un cono puede representarse mediante la ecuación $z=kr,$ donde $k$ es una constante. En coordenadas esféricas, hemos visto que las superficies de la forma $\phi =c$ son semiconos. Por último, en coordenadas rectangulares, los conos elípticos son superficies cuádricas y pueden representarse mediante ecuaciones de la forma $z^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}.$ En este caso, podríamos elegir cualquiera de los tres. Sin embargo, la ecuación de la superficie es más complicada en coordenadas rectangulares que en los otros dos sistemas, por lo que quizá queramos evitar esa opción. Además, estamos hablando de un tanque de agua, y la profundidad del agua podría entrar en juego en algún momento de nuestros cálculos, por lo que sería bueno tener una componente que represente la altura y la profundidad directamente. Según este razonamiento, las coordenadas cilíndricas podrían ser la mejor opción. Elija el eje z para alinearlo con el eje del cono. La orientación de los otros dos ejes es arbitraria. El origen debe ser el punto inferior del cono.
4. Una tubería es un cilindro, por lo que las coordenadas cilíndricas serían la mejor opción. En este caso, sin embargo, probablemente elegiríamos orientar nuestro eje z con el eje central de la tubería. El eje x puede elegirse para que apunte directamente hacia abajo o hacia alguna otra dirección lógica. El origen debe elegirse en función del planteamiento del problema. Tenga en cuenta que esto pone el eje z en una orientación horizontal, que es un poco diferente de lo que solemos hacer. Puede tener sentido elegir una orientación inusual para los ejes si tiene sentido para el problema.
5. Un balón de fútbol tiene simetría rotacional en torno a un eje central, por lo que las coordenadas cilíndricas serían las más adecuadas. El eje z debe alinearse con el eje del balón. El origen puede ser el centro del balón o quizás uno de los extremos. La posición del eje x es arbitraria.