Coordenadas Esféricas - Fórmulas y Ejercicios - Neurochispas (2024)

¿Qué son las coordenadas esféricas?

Las coordenadas esféricas son un sistema de coordenadas tridimensional. Este sistema tiene la forma (ρ, θ, φ), en donde,ρes la distancia desde el origen hasta el punto,θes el ángulo formado con respecto al ejexyφes el ángulo formado con respecto al ejez.

El sistema de coordenadas esféricas es útil cuando queremos graficar figuras esféricas o figuras que están definidas a base de ángulos. Este sistema de coordenadas es principalmente conveniente en el cálculo.

Muchas veces encontrar las derivadas o integrales de figuras esféricas puede resultar más fácil usando este sistema, ya que podemos describir a las figuras usando ecuaciones más simples y convenientes.

Ejemplos de coordenadas esféricas

Para graficar a un punto que está representado en coordenadas esféricas, podemos empezar ubicándolo con respecto a su distancia desde el origen y su ángulo con respecto al ejex.Luego, lo ubicamos con respecto al ángulo que forma desde el ejez. El siguiente diagrama representa al punto $latex (3, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$.

Podemos ver que, el ángulo φ es medido desde el ejezpositivo. Este ángulo va desde 0 hasta π. Por otra parte, el ángulo θ no tiene ninguna restricción. Esto significa que en realidad, tenemos varias formas de representar a un punto en coordenadas esféricas.

Esto se debe a que, si es que sumamos o restamos 2π o un múltiplo de 2π, obtenemos un ángulo equivalente. Por ejemplo, los ángulos $latex \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ son equivalentes.

Fórmulas de conversión de esféricas a cartesianas

Usemos el siguiente diagrama para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas:

Podemos usar triángulos rectángulos y trigonometría para obtener ecuaciones para ρ, θ, φ en términos dex, y, z. La derivación de estas ecuaciones resulta más fácil si es que empezamos transformando de coordenadas esféricas a cilíndricas y luego, de coordenadas cilíndricas a cartesianas. Entonces, usamos el siguiente diagrama:

Podemos encontrar aryzusando la función seno y coseno respectivamente:

$latex z=\rho \cos(\phi)$

$latex r=\rho \sin(\phi)$

El tercer componente aquí es $latex \theta$. Ahora, usamos las fórmulas de transformación decoordenadas cilíndricas a cartesianas:

$latex x=r~\cos(\theta)$

$latex y=r~\sin(\theta)$

$latex z=z~~~~~$

Si es que usamos estos dos conjuntos de ecuaciones, tenemos:

Fórmulas de conversión de cartesianas a esféricas

Para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, usamos el mismo diagrama:

El componente ρ puede ser encontrado en términos dex,y, zusando el teorema de Pitágoras en tres dimensiones. Entonces, tenemos:

$latex {{\rho}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$

El ánguloθes encontrado usando el mismo proceso decoordenadas cilíndricas. Usamos a la tangente inversa, en donde,yes el lado opuesto del ángulo yxes el lado adyacente. Entonces, tenemos:

Algo que debemos considerar es que, muchas veces el ángulo dado por la calculadora no es el correcto. Esto es debido a que la función tangente inversa tiene un rango que va desde $latex -\frac{\pi}{2}$ hasta $latex \frac{\pi}{2}$, por lo que no cubre los cuatro cuadrantes.

Para corregir esto, sumamos 180° o π si es que el punto está en el segundo o tercer cuadrante y sumamos 360° o 2π si es que el punto está en el cuarto cuadrante. Si es que el punto está en el primer cuadrante, el valor dado por la calculadora sí es correcto.

Para encontrar al ángulo φ, podemos usar la función coseno. Vemos que el lado adyacente a este ángulo es el ladozy la hipotenusa es igual aρ. Entonces, tenemos:

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre coordenadas esféricas y otros sistemas? Mira estas páginas:

• Coordenadas Cartesianas a Esféricas
• Coordenadas Esféricas a Cartesianas
• Coordenadas Polares
• Coordenadas Cilíndricas