Coordenadas cilíndricas y esféricas: definición, ecuaciones y ejemplos (2024)

Mapeo del espacio 3D

Cuando miras al cielo nocturno, puedes ver alrededor de cinco mil de las más de cien mil millones de estrellas en nuestra Vía Láctea. Los seres humanos han cartografiado las estrellas desde que han estado cartografiando características a gran escala en la superficie de la Tierra. Entonces, ¿por qué los mapas de las características de la Tierra están tan ampliamente disponibles, mientras que los mapas de las ubicaciones de las estrellas cercanas en nuestra galaxia son difíciles de conseguir?

Probablemente hay algunas razones. Una gran razón es que los humanos usan mapas terrestres y marinos con regularidad para la navegación, pero ¿mapas estelares? No tanto. Otra razón es que no es fácil representar de manera precisa y significativa las ubicaciones de las características y las distancias relativas en un espacio tridimensional. El mapa en sí debe ser tridimensional si no desea perder información al suprimir una de las dimensiones. Los mapas de la Tierra generalmente suprimen la elevación, por lo que la superficie de la Tierra se puede representar en un mapa 2-D. Veamos cómo las coordenadas esféricas proporcionan una forma natural de representar las ubicaciones de las estrellas en nuestra región local de la galaxia.

Sistemas de coordenadas polares

La idea detrás de las coordenadas cilíndricas y esféricas es usar ángulos en lugar de coordenadas cartesianas para especificar puntos en tres dimensiones. A veces, el empleo de ángulos puede simplificar las representaciones matemáticas de funciones. Las coordenadas polares representan puntos en el plano de coordenadas, no con el par ordenado cartesiano habitual (x, y) , sino con dos coordenadas diferentes (r, phi) que están relacionadas funcionalmente con (x, y) . En concreto, para un punto dado P , r es la distancia absoluta desde el origen al P . El ángulo phi es la posición angular de P , con el ángulo medido desde el positivo x-eje. Los sistemas de coordenadas cilíndricos y esféricos son extensiones de coordenadas polares 2-D en un espacio 3-D.

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas son más similares a las coordenadas polares 2-D. Consideremos un punto P que tiene coordenadas (x, y, z) en un sistema de coordenadas cartesiano 3-D. El mismo punto se puede representar en coordenadas cilíndricas (r, phi, z) donde r y phi son las coordenadas polares 2-D de la imagen de P en el plano xy ( z = 0 ), y z es exactamente igual que P Coordenada z cartesiana. Aquí está la relación entre las coordenadas cartesianas y cilíndricas de un punto en un gráfico:

Fig.1: Coordenadas cilíndricas r, phi y z

La transformación de coordenadas para ir desde cartesianas x y Y coordenadas a cilíndrica r y phi coordenadas son como sigue:

Ecs. 1: Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas

Estos son los mismos que la transformación a coordenadas polares 2-D.

Hay algunas características de esta transformación para notar. Primero, la coordenada r bajo esta transformación es siempre un número positivo. r se interpreta como la distancia más pequeña de P al eje z . Además, phi , expresado en radianes, siempre estará entre -pi y pi . La coordenada z mantiene el mismo valor a medida que se transforma de un sistema a otro. La transformación inversa de (r, theta, z) a (x, y, z) también puede resultar familiar a partir de coordenadas polares 2-D.

Ecs. 2: Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas

Consideremos la siguiente pregunta como un ejemplo de aplicación de la transformación de coordenadas: ¿cuáles son las coordenadas cartesianas (x, y, z) del punto P especificado por coordenadas cilíndricas (2, -pi / 6, 1) ?

Al pasar de coordenadas cilíndricas a cartesianas, la coordenada z no cambia. z es convencionalmente el tercer valor en el triplete ordenado, por lo tanto, z = 1 tanto en coordenadas cilíndricas como cartesianas. Ahora, para encontrar x y y , debemos enchufar valores r = 2 y phi = pi / 6 en las ecuaciones de transformación.

Por lo tanto, las coordenadas cartesianas de este punto son (sqrt (3), -1, 1) .

Coordenadas esféricas

Las coordenadas cilíndricas no son la única forma de especificar un punto en un espacio 3D utilizando un ángulo. Las coordenadas esféricas son otra generalización de las coordenadas polares 2-D. Sin embargo, en este sistema de coordenadas, hay dos ángulos, theta y phi .

Consideremos un punto P que está especificado por coordenadas (x, y, z) en un sistema de coordenadas cartesiano 3-D. El mismo punto se puede representar en coordenadas esféricas como (r, theta, phi,) donde r , theta y phi están relacionados funcionalmente con x , y y z , como veremos.

En coordenadas esféricas, r es la distancia desde el origen al punto P a lo largo de la línea que los conecta. El primer ángulo, theta , a menudo se llama ángulo polar porque corre entre los ‘polos’ del sistema de coordenadas, los ejes z negativos y positivos . Theta toma el valor 0 a lo largo del eje z positivo y pi a lo largo del eje z negativo . El segundo ángulo, phi , se llama ángulo azimutal y es idéntico al ángulo phi en coordenadas cilíndricas.

Ecs. 3: Transformación de coordenadas cartesianas a esféricas

Las transformaciones de coordenadas toman un punto P en coordenadas cartesianas a sus correspondientes coordenadas esféricas. Hay algunas características a tener en cuenta en esta transformación. La coordenada radial r bajo esta transformación es siempre un número positivo que es exactamente igual a la distancia euclidiana de P al origen.

También tenga en cuenta que los dos ángulos toman diferentes rangos de valores. El ángulo polar theta , expresado en radianes, debe estar siempre entre 0 y pi , pero el ángulo azimutal phi puede apuntar en cualquier dirección en el plano xy , por lo que toma valores de -pi a pi .

Según la geometría, la transformación inversa lleva las coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas.

Ecs. 4: Transformación de coordenadas esféricas a cartesianas

Consideremos un ejemplo: ¿cuáles son las coordenadas esféricas (r, theta, phi) del punto P especificado por las coordenadas cartesianas (3, -sqrt (3), -2) ?

Al pasar de coordenadas cartesianas a esféricas, debemos usar estos cálculos:

Aplicación: Mapas celestiales

Los mapas de estrellas son una aplicación común de coordenadas esféricas. Como se observa en la Tierra, las estrellas nos aparecen en el interior de una esfera centrada en nosotros. Aunque los primeros astrónomos y filósofos creían que las estrellas eran equidistantes de nosotros, ahora sabemos que la distancia exacta a cada estrella que vemos es diferente.

En términos de coordenadas esféricas, las posiciones relativas de las estrellas en el cielo se pueden especificar mediante dos números(theta, phi).La distancia tridimensional real se puede incorporar dando una coordenadarpara cada estrella.Los mapas celestes para observadores de estrellas tienden a utilizar un ángulo complementario al ángulo polartheta, que se llamaaltitud, para localizar una estrella.

Fig. 3: Un esquema de coordenadas utilizadas en mapas estelares.

Resumen de la lección

Los sistemas de coordenadas polares utilizan ángulos como coordenadas de puntos.Los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas son generalizaciones de coordenadas polares bidimensionales en tres dimensiones.Las coordenadas polaresrepresentan puntos en el plano de coordenadas, no con el habitual par ordenado cartesiano (x,y), sino con dos coordenadas diferentes (r,phi).

Las coordenadas cilíndricasson más similares a las coordenadas polares 2-D.Usan (r,phi,z) donderyphison las coordenadas polares 2-D dela imagendePen elplanox–yyzes exactamente igual quelacoordenadazcartesiana deP.

Encoordenadas esféricas, otro ángulo, el ángulo polartheta, también se define para especificar un punto en 3-D.Estos sistemas de coordenadas son utilizados por astrónomos e ingenieros para simplificar modelos matemáticos de sistemas de interés.